Kurt Gödel seorang ahli?

wowkece.me


Kurt Gödel seorang ahli?


Dalam kurun waktu tiga tahun, Kurt Gödel, ahli logika kelahiran Austria yang saat itu berusia 25 tahun dan tinggal dengan ibunya di Wina, menyentil pertanyaan nomor satu dan dua dengan jawaban tak terduga-duga: tidak dan tidak. Dalam “ teorema ketidaklengkapan”, Gödel menunjukkan terdapat sejumlah pernyataan yang tidak bisa dibuktikan ataupun disanggah.

Contoh sederhananya ialah pernyataan yang mengacu pada diri sendiri seperti, “Pernyataan ini tidak bisa dibuktikan kebenarannya.” Jika pernyataan tersebut benar, kita tidak dapat membuktikan kebenarannya; jika salah, pernyataan tersebut menjadi kontradiktif secara logika. Dilema ini mirip-mirip dengan “paradoks pembohong” dalam kisah Yunani kuno. (Seperti kalimat, “Semua ucapanku bohong.” Jika memang benar demikian, pernyataan itu juga salah.) Dengan mengutarakan pernyataan-pernyataan yang tidak dapat dibuktikan atau disanggah, Gödel menunjukkan sistem formal yang digunakan untuk mengekspresikan bahasa matematika tidaklah lengkap.

Dia juga mengajukan teorema pendamping yang secara efektif memberikan jawaban “tidak” bagi pertanyaan kedua Hilbert. Tinggal pertanyaan ketiga yang belum terpecahkan, yaitu penentuan bisa tidaknya suatu pernyataan dijawab atau menurut istilah Hilbert Entscheidungsproblem alias “ permasalahan keputusan”.

Walaupun Gödel telah menyodorkan pernyataan-pernyataan yang memang tidak bisa dibuktikan ataupun disanggah, barangkali pernyataan tersebut mesti dikecualikan ke dalam kelompok tersendiri sehingga menyisakan sistem logika matematika yang lengkap dan konsisten. Untuk itu, diperlukan metode untuk memutuskan apakah suatu pernyataan dapat dibuktikan. Ketika mengajari Turing tentang permasalahan Hilbert, Profesor Matematika hebat dari Cambridge, Max Newman, membahasakan Entscheidungs problem sebagai: adakah “proses mekanis” yang bisa digunakan untuk menentukan apakah suatu pernyataan logika dapat dibuktikan atau tidak? Turing menyukai konsep “proses mekanis”. Suatu hari pada musim panas 1935 dia seperti biasa lari sendirian menyusuri Sungai Ely dan, setelah beberapa mil, berhenti untuk tidur-tiduran di antara pepohonan apel di Padang Grantchester, lalu merenungkan sebuah ide.

Dia akan mengejawantahkan konsep “proses mekanis” secara harfiah, membuat mesin imajiner untuk memecahkan masalah tersebut. 8 “ Mesin Komputasi Logis” yang Turing bayangkan (yakni eksperimen pemikiran belaka, bukan mesin sungguhan) sekilas terkesan sederhana. Namun, dalam teorinya, mesin tersebut dapat mengolah berbagai perhitungan matematika.

Mesin tersebut terdiri atas struk dengan panjang tak terbatas bertuliskan simbol-simbol di dalam kotak; andai yang digunakan adalah sistem biner paling sederhana, simbol yang tercantum bisa berupa angka 1 dan kosong saja. Mesin tersebut bisa membaca simbol-simbol di struk dan melakukan pekerjaan tertentu berdasarkan “tabel perintah” yang diterima.

Tabel perintah ini menyuruh mesin melakukan sesuatu berdasarkan konfigurasi mesin dan simbol yang tercantum di dalam kotak. Misalkan, tabel perintah untuk tugas tertentu bisa saja menitahkan, jika sedang diset ke konfigurasi 1 dan melihat 1 di dalam kotak, mesin itu harus bergerak sekotak ke kanan dan pindah ke konfigurasi 2. Yang mengejutkan bagi kita, sekalipun tidak bagi Turing mesin semacam itu, asalkan diberi tabel perintah yang memadai, niscaya dapat memecahkan persoalan matematika sekompleks apa pun.

Bagaimana mesin imajiner ini bisa menjawab pertanyaan ketiga Hilbert: permasalahan keputusan? Turing menjajaki persoalan itu dengan merevisi konsep “bilangan yang bisa dihitung”. Bilangan riil mana pun yang bisa didefinisikan menggunakan aturan matematika itu bisa dihitung oleh Mesin Komputasi Logis.

Bahkan, bilangan irasional seperti π dapat dihitung secara tak hingga menggunakan tabel perintah yang berhingga. Begitu pula logaritma dari 7, akar 2, deret angka Bernoulli yang algoritmenya turut dibuat oleh Ada Lovelace, atau angka dan deret lainnya, tidak peduli sesukar apa perhitungannya, asalkan kalkulasinya dapat didefinisikan oleh serangkaian aturan yang jumlahnya berhingga.

Semua ini, menurut Turing, masuk ke dalam kategori “bilangan yang bisa dihitung”.

Turing kemudian menunjukkan ada juga bilangan yang tidak bisa dihitung. Hal ini terkait dengan persoalan yang dia sebut “ halting problem ”. Turing menunjukkan, sebelum input tertentu dimasukkan, kita tidak bisa menentukan apakah mesin akan mengeluarkan jawaban atau mengerjakan proses berulang secara tak hingga tanpa memberikan jawaban. Menurut Turing, tak terpecahkannya halting problem juga berarti permasalahan keputusan tidak dapat dipecahkan.

Walaupun Hilbert barangkali berharap lain, tidak ada prosedur mekanis yang mampu menentukan bisa tidaknya suatu pernyataan matematika dibuktikan. Makalah Turing diterbitkan pada 1937 dengan judul apa adanya “ On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem ”. Jawabannya atas pertanyaan ketiga Hilbert memang bermanfaat untuk pengembangan teori matematika. Namun, yang jauh lebih penting ialah produk sampingan dari bukti yang Turing kemukakan: konsep Mesin Komputasi Logis, yang tidak lama berselang dikenal luas sebagai mesin Turing. “Adalah mungkin untuk menciptakan mesin yang bisa dipergunakan untuk menghitung deret bilangan berapa saja yang bisa dihitung,” dia menyatakan.

Mesin semacam itu bisa membaca instruksi mesin lain dan melaksanakan tugas apa pun yang dapat dikerjakan mesin. Intinya, mesin semacam itu perwujudan dari mesin universal serbaguna yang diimpi-impikan oleh Charles Babbage dan Ada Lovelace.

Lebih awal pada tahun yang sama, matematikawan dari Princeton, Alonzo Church, telah mengemukakan solusi lain yang kurang cantik dengan nama misterius setidak-tidaknya di mata orang awam untuk Entscheidungsproblem , yaitu “ untyped lambda calculus ”. Dosen Turing, Max Newman, menilai akan bermanfaat bagi Turing apabila belajar ke Princeton di bawah bimbingan Church. Dalam surat rekomendasinya, Newman menyebutkan potensi Turing yang luar biasa. Newman juga menambahkan permohonan personal terkait kepribadian Turing.

“Dia bekerja tanpa pengawasan atau kritik dari siapa pun,” tulis Newman. “Karena itu, penting kiranya agar dia sesegera mungkin diperkenalkan kepada para praktisi terkemuka di bidang ini supaya tidak menjadi soliter sepenuhnya.” Turing memang cenderung penyendiri.

Sebagai penyuka sesama jenis, dia kerap merasa bagai orang asing; dia hidup sendiri dan menghindari komitmen personal yang mendalam. Suatu saat dia pernah melamar seorang kolega perempuan, tetapi kemudian merasa berkewajiban untuk memberitahukan bahwa dirinya homoseksual. Rekannya itu ternyata tidak gentar, tetap bersedia mengawininya, tetapi Turing mengurungkan niat karena tidak mau menikah bohong-bohongan.

Walau begitu, dia tidak menjadi “soliter sepenuhnya”. Turing belajar bekerja sama dalam satu tim, bahu-membahu dengan sejumlah rekan, alhasil memungkinkan teori-teorinya yang abstrak untuk dituangkan dalam temuan yang nyata dan bisa dilihat mata. September 1936, selagi menanti penerbitan makalahnya, kandidat doktor berusia 24 tahun ini berlayar ke Amerika di kabin kelas tiga kapal usang RMS Berengaria sambil membawa sekstan kuningan yang berharga.

Kantor Turing di Princeton terletak di gedung Departemen Matematika, yang juga merupakan gedung Institute for Advanced Study, tempat Einstein, Gödel, dan von Neumann bermarkas. Von Neumann yang supel dan berwawasan luas ternyata sangat tertarik akan pekerjaan Turing, sekalipun kepribadian keduanya amat berlainan.

Perubahan elementer dan kemajuan serempak pada 1937 bukanlah akibat langsung terbitnya makalah Turing. Malahan, makalah itu mula-mula hanya sedikit menuai perhatian. Turing meminta ibunya mengirimkan salinan makalah kepada filsuf-matematikawan Bertrand Russell dan kira-kira enam cendekiawan tenar lainnya.

Namun, satu-satunya ulasan penting dibuat oleh Alonzo Church, yang rela menyanjung Turing karena dirinya telah terlebih dahulu memecahkan Entscheidungsproblem Hilbert. Church bukan hanya bermurah hati, melainkan juga memperkenalkan istilah mesin Turing untuk konsep yang Turing namai Mesin Komputasi Logis. Dengan demikian, pada usia 24 tahun, nama Turing tak terpisahkan dengan salah satu konsep terpenting pada era digital kelak.

wowkece.me

Belum ada Komentar untuk "Kurt Gödel seorang ahli?"

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel